Spieltheorie Teil 2

Spieltheorie Teil 2 0001

In diesem Artikel werden wir uns weiter mit der Spieltheorie beschäftigen. Sollten Sie Teil 1 nicht gelesen haben, so würde ich Ihnen empfehlen dies nachzuholen, bevor Sie sich Teil 2 zuwenden.

Half-Street Games:

Diese sind einfache Spiele mit folgenden Merkmalen:

• Spieler 1 (genannt X) checkt in the dark

• Spieler 2 (genannt Y) hat nun die Möglichkeit zu checken oder einen bestimmten Betrag, gemäß der Spielregeln, zu setzen.

• Wenn Y setzt, kann X callen und es kommt zum Showdown. X kann auch folden, aber nicht raisen. Wenn Y checkt, sehen die Spieler ebenfalls einen Showdown.

Um dies zu veranschaulichen:

Spieltheorie Teil 2 101

Wenn wir über den Wert eines Spiels diskutieren, meinen wir den Erwartungswert (EV) von Spieler Y unter der Vorraussetzung, dass X und Y optimal spielen. Wenn wir vom Ex-Showdown sprechen, meinen wir das Geld, welches von einem Spieler zum anderen übergeht (aufgrund der getätigten Einsätze). Die Hand von Spieler Y ist willkürlich gewählt, so dass er in 50% der Fälle gegen Spieler X gewinnt und zu 50% verliert. Es wird sofort offensichtlich, dass Y nie –EV spielt, da er immer die Möglichkeit hat behind zu checken und er so zu jedem Zeitpunkt einen EV von 0 hat. Checken beide Spieler am Showdown, so gewinnen beide Spieler zu 50% die Hand. Spieler Y hat jedoch einen Informationsvorteil, da X nur eine Hand bekommt, welche Spieler Y bekannt ist.

X und Y müssen nur jeweils eine Entscheidung treffen. Y muss sich festlegen mit welcher Range er betten möchte und X muss sich entscheiden mit welcher Range er eine Bet von Y callen will. Die Range von X ist nur eine Hand, somit muss er sich entscheiden wie oft er mit dieser Hand callen möchte. Y kann nun die Entscheidungen auf seiner Strategie basieren (er wählt eine Option zu 100%) die Nuts zu value-betten und seine schlechtesten Hände behind zu checken. X kann dies natürlich ausnützen indem er immer auf eine Bet foldet (X weiß, dass Y nur die Nuts betten und er somit durch den Call immer verlieren würde). Sollte X so spielen, kann Y seine Strategie ändern und sowohl die Nuts als auch seine schwachen Hände betten. Somit könnte X wieder zu 100% callen und Y wieder zu seiner ursprünglichen Strategie übergehen nur die Nuts zu betten und die Bluffs zu checken. Wie Sie schon sehen, handelt es sich hierbei um wiederkehrende Strategien, so dass das Optimum ein Strategie-Mix sein muss, wobei man verschiedene Optionen zu einem bestimmten Prozentsatz verwendet.

In diesem Spiel gibt es zwei strategische Wahlmöglichkeiten – eine für X: wie oft soll er callen, und eine für Y: wie oft soll er bluffen.

Y wird die Nuts immer betten, ist ja auch deutlich profitabler als nur zu checken. X wird zu C% callen und Y wird zu B% bluffen. Sobald wir die Werte für C und B herausgefunden haben, können wir unsere Frage beantworten.

Fangen wir mit Spieler X an. X spielt optimal, wenn es Y egal ist ob er blufft oder checkt (bluffen und checken hat für Y den gleichen EV). Sollte Y erfolgreich bluffen (d.h. X foldet), gewinnt er P Bets und verliert eine Bet, wenn X callt. Wenn C die Callfrequenz ist, so ist

1-C die Foldfrequenz. Sollte X optimal spielen, ist es für Y egal, ob er blufft oder checkt. Somit:

(Potgröße)(Foldfrequenz X) = (Bluffbet)(Callfrequenz X)

(P)(1-C) = (1)(C)

P – PC = C

P = C + PC

P = C(1+P)

C = P/(1+P)

Wie wir sehen können muss X desto öfter callen je größer der Pot ist, was uns wieder zum Pot-Odds-Prinzip bringt: Je mehr Geld im Pot, desto öfter muss X callen um Y's Bluffs zu kontern.

Auf der anderen Seite haben wir Y's Strategie. Y muss oft genug bluffen, damit es X egal ist ob er callt oder foldet. Wenn X callt, verliert er eine Bet gegen Y's Valuebet und gewinnt P+1 gegen Y's Bluff (B ist die Blufffrequenz):

1 = B(P+1)

B = 1/(P+1)

Der Wert von 1/(P+1) ist bei der Analyse von Poker besonders wichtig, so dass wir ihn in A umbenennen:

A = 1/(P+1).

A impliziert zwei Dinge. X muss oft genug callen, so dass es Y egal ist ob er checkt oder blufft. X's Callfrequenz ist P/(P+1), was das gleiche ist wie 1-A. Falls Sie nicht verstehen warum P/(P+1) = 1-A ist, so könnte Ihnen die folgende Gleichung helfen:

Wenn gilt A = 1/(P+1), dann:

1-A = 1 – 1/(P+1)

1-A = (P+1)/(P+1) – 1/(P+1)

1-A = (P+1-1)/(P+1)

1-A = P/(P+1)

1-A ist somit die Callfrequenz von X und A ist X's Foldfrequenz, wenn er mit einer Bet von Spieler Y konfrontiert wird. Wir haben bereits herausgefunden, dass Y mit der Wahrscheinlichkeit 1/(P+1) oder A bluffen wird. Grundsätzlich können wir also sagen die optimale Strategie ist: Y bettet seine Nuts und blufft A% mit seinen schwachen Händen (man könnte auch sagen er blufft A/2 seiner Hände, da er zu 50% gewinnt und zu 50% verliert) und X callt mit 1-A seiner Hände.

Hier ein Beispiel. P=3 und somit:

A = 1/(3+1)

A = 0.25 und genauso: 1-A = 0.75

Wir sehen also, dass Y zu 25% bluffen wird. Er setzt jedes Mal mit den Nuts (50%) und blufft zu 25%, wenn er verlieren würde. Das wären 0.25 x 0.5 = 0.125 = 12.5 % (wir sehen auch, dass A/2 ebenfalls 0.125 wären). Spieler X callt zu 75%.

Nehmen wir nun an P wäre 4 (P=4)

A = 1/(4+1)

A = 0.20 und genauso: 1-A = 0.80

Wir sehen also, dass Y zu 20% bluffen wird. Er setzt jedes Mal mit den Nuts (50%) und blufft zu 20%, wenn er verlieren würde. Das wären 0.20 x 0.5 = 0.10 = 10 % (wir sehen auch, dass A/2 ebenfalls 0.10 wären). Spieler X callt zu 80%.

Mit zunehmenden Pot blufft Y immer weniger. Das mag Ihnen fremd erscheinen, da man natürlich auch einen großen Pot durch einen Bluff gewinnen könnte. Die Kombination aus Bluff und Valuebet wurde eingeführt, um die Effektivität der optimalen Strategie zu erhöhen, unabhängig von der Reaktion des Gegners.

Schauen wir uns nun ein Beispiel unter Verwendung der Spieltheorie an, um herauszufinden wie oft wir bluffen können. Wir nehmen an die Spielart ist No Limit Texas Hold'em und wir warten Heads-up auf die Riverkarte. Wir müssen jedoch nicht immer auf die Spieltheorie zurückgreifen, um die Antwort zu finden. Spielen wir gegen eine Callingstation, bringt uns ein Bluff nichts. Foldet der Gegner jedoch recht oft, so können wir mehr bluffen. Die Spieltheorie wird nützlich, wenn wir unseren Gegner nicht besonders gut kennen und annehmen, dass er besser ist. Unser Spiel soll unangreifbar sein, um nicht ausgenützt zu werden.

Angenommen unsere Chance am River den Pot zu gewinnen liegt bei 20% (beispielsweise mit einem Flushdraw). Es befinden sich $100 im Pot und wir würden $50 setzen (eine höhere Bet wäre besser, aus Gründen der einfacheren Rechnung wählen wir jedoch $50). Unser Gegner bekommt somit Odds von 150:50 oder 3:1. Um hier die Blufffrequenz zu ermitteln, müssen wir sicher gehen, dass die Bluffodds gleich mit seinen Potodds sind. Bluffodds bezeichnet die Wahrscheinlichkeit, dass wir keine gute Hand haben wenn wir betten.

Die Potodds des Gegner betragen 3:1 und so müssen auch unsere Bluffodds 3:1 oder 25% betragen. Sollten wir auf dem River betten, tun wir das also zu 75% mit der besseren und zu 25% mit der schlechteren Hand. Mit der besten Hand in drei von vier Fällen zu setzen repräsentiert unsere 20%-Chance die beste Hand zu erhalten. Die anderen 25% entsprechen auch einer bestimmten Wahrscheinlichkeit, nämlich 6.66% (20% geteilt durch 3 der 3:1 Odds). Somit setzten wir am River zu 20% mit der besten Hand, bluffen zu 6.66% und checken zu 73.34% behind.

Wie können wir diese Erkenntnisse nun in der Praxis umsetzen. Wir können nun bei allen 9 Outs und zusätzlich bei unseren 3 Bluffouts setzen. Sie müssen mit den 3 Bluffouts allerdings auch eine gute Hand repräsentieren können damit es funktioniert. 3 Outs sind ungefähr 6.66% (3/46 unbekannte Karten = 0.06521). Am River setzen wir also bei unseren 9 Outs, die uns den Flushdraw bescheren, sowie bei drei zusätzlichen Outs, die wir uns vorher ausdenken.

Der Gegner bekommt nun also Odds von 3:1 und erkennt, dass wir zu 75% die bessere Hand halten und zu 25% bluffen. Seine Gewinnchancen sind somit 25% und sein EV für einen Call beträgt (0.25)($150) + (0.75)($-50) = $37.5 - $37.5 = $0. Sein EV für einen Fold beträgt ebenfalls 0$. Durch die Verwendung der Spieltheorie wird das eigene Spiel unangreifbar, so dass man durch unbekannte und evtl. bessere Gegner nicht ausgenützt werden kann.

Denken Sie also an die folgende Punkte um bei einem Bluff nicht ausgenutzt werden zu können:

1) Wählen Sie eine gute, überzeugende Betgröße und achten Sie auf die Potodds des Gegners

2) Ihre Bluffodds müssen den Potodds Ihres Gegners entsprechen. Anders ausgedrückt, seine Potodds müssen der Wahrscheinlichkeit entsprechen, dass Sie bluffen.

Ein weiteres kurzes Beispiel: Der Pot beträgt $500 und Sie setzen $400. Ihr Gegner bekommt Odds von 2.25:1 oder 30.77%. Sollten Sie sich entscheiden zu betten, sollten sie zu 69,23% die bessere Hand halten und zu 30,77% bluffen um unangreifbar zu bleiben.

Die Beispiele in diesem Artikel wurden von zwei Büchern inspiriert. The Mathematics of Poker and The Theory of Poker. Nachdem diese Bücher, meiner Meinung nach, auf einige Dinge nicht genau genug eingehen, versuchte ich das Thema etwas übersichtlicher zu präsentieren. Für weitere Information über die Spieltheorie sind die Bücher jedoch gute Quellen.

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